BirDoğal Sayının Tam Bölenleri . Bir doğal sayının tam bölenlerini bulmak için önce asal çarpanlarına ayrılır. A sayısı A = a x. b y. c z şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun. 1. A nın pozitif tamsayı bölenleri sayısı : (x + 1)(y + 1)(z + 1)dir. 2. A nın tüm bölenleri sayısı : 2(x + 1) (y + 1) (z + 1) 3. birsayıya eşit oldu. x, y, z birbirinden farklı olduğundan z = 0 alınamayacaktır. Seçeneklerdeki uygun cevap 25 dir. Cevap D’dir. ax = by ifadesinde x ve y değerleri doğal sayı ya da pozitif doğal sayı ise, x b veya b nin katlarına, y de a veya a nın katlarına eşittir. ÖRNEK ÖRNEK 1. Doğal Sayılar ve Tamsayılar BÖLÜM Bir doğal sayının faktoriyelini bulmak için 1′den başlayarak o sayı da dahil olmak üzere o sayıya kadar ki bütün doğal sayılar çarpılır. Örneğin 7!=1×2×3×4×5×6×7 şeklindedir. Özel bir durum olarak 0!=1 olarak kabul edilmektedir. Üniversite sınavlarında, ALES ve KPSS sınavlarında mutlaka bir şekilde karşınıza Birdoğal sayıyı başka bir doğal sayı ile çarptığımızda bulunan sayıya kat denir.Katlar doğal sayının 1 , 2 , 3 gibi doğal sayılarla çarpılması ile bulunur. 4 x 5 = 20 olduğundan 20 sayısı 4 sayısının katıdır. 8 x 3 = 24 olduğundan 24 sayısı 8 sayısının katıdır. 9 x 3 = 27 olduğundan 27 sayısı 9 BİRDOĞAL SAYININ ÇARPANLARI / BÖLENLERİ. Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu doğal sayılara o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için çarpanlara aynı zamanda bölenidir de diyebiliriz. Doğal Sayıların Katları. -Bir doğal sayının kalansız böldüğü sayıların tümüne o sayının katları denir. Örneğin 3 sayısının katları 3,6,9,12,15 dir. Örnek : 20 sayısının 50 ile 100 arasındaki katlarını yazalım. 20×3=60. 20×4=80. Örnek : 15 sayısının çarpanlarını (kalansız bölenlerini ) bulalım. 15 oJ3E5dS. Bu konu anlatımında iki pozitif tam sayının en büyük ortak bölenini bulmanın bir dans koreografisinde nasıl kullanıldığını izleyebilirsiniz. Bu interaktif etkinlikte verilen doğal sayıların EBOB'larını bulacaksınız. Bu interaktif etkinlikte iki doğal sayının EBOB'unun nasıl bulunacağını ve EBOB'la ilgili özel durumları öğrenebilirsiniz. Bu interaktif etkinlikte verilen doğal sayıların EKOK'larını bulacaksınız. Bu interaktif etkinlikte verilen doğal sayıların EKOK'larını bulacaksınız. Bu konu anlatımında iki pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğünü bulmanın günlük hayatta hangi durumlarda karşımıza çıkacağı ile ilgili bri örnek izleyebilirsiniz. Bu interaktif etkinlikte iki doğal sayının EKOK'unun nasıl bulunacağını ve EKOK'la ilgili özel durumları öğrenebilirsiniz. Bu interaktif etkinlikte verilen problemi EBOB mu yoksa EKOK mu kullanarak çözmeniz gerektiğine karar vererek çözeceksiniz. Bu canlandırmada, Euler'in yaptığı bazı çalışmaların günümüzde nasıl işe yaradığı ile ilgili anlatımı bulabilirsiniz. Bu interaktik etkinlikte iki doğal sayının aralarında asal olmasının ne anlama geldiğini ve aralarında asal sayıların özelliklerini keşfedbilirsiniz. Sevgili öğrenciler Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları ile ilgili konu anlatımını sizler için Sayıların Çarpanları-Her doğal sayı 2 sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı sayının çarpanı ile böleni demek aynıdır. Örnekler ;-40 = 1×40 , 2×20, 4×10, 5×8-48 = 1×48 , 2×24 , 3×16 , 4×12 , 6×8 ,-75 = 1×75 , 3×25 , 5×15-60= 1×60 , 2×30 , 3×20 , 4×15 , 5×12 , 6×10-80= 1×80 , 2×40 , 4×20 , 5x 16 Doğal Sayıların Katları-Bir doğal sayının kalansız böldüğü sayıların tümüne o sayının katları denir. Örneğin 3 sayısının katları 3,6,9,12,15 … 20 sayısının 50 ile 100 arasındaki katlarını 15 sayısının çarpanlarını kalansız bölenlerini 15×115= 3×5DİKKAT!!! Bir sayının çarpanları kalansız bölenleri , o sayının katlarının da çarpanlarıdır. 6. sınıfta bir doğal sayının bölenleri ve katları nasıl bulunur ve ortak bölenler ve katlarkonularını öğrenmiştik. Şimdi ise iki veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmayı, en büyük ortak bölenini bulmayı, kısaca Ebob Ekok nasıl bulunur öğreneceğiz. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN EBOBİki ya da daha fazla sayma sayının her birini tam bölen sayıların en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni EBOB u 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenini bir önceki konudan çarpanlarbölenler den in çarpanlarıbölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12′ in çarpanlarıbölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18′ ve 18 in ortak bölenleri 1, 2, 3, 6En Büyük Ortak Bölen EBOB = 6 Bölen Listesiyle nasıl bulacağımızı LİSTESİ İLE EBOB BULMAiki veya daha fazla sayı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayı olan 2 den sayılar 2′ ye bölünmüyorsa asal sayıları büyülterek devam ederiz. Verilen sayılar 1 olana kadarbölme işlemine devam ederiz. Asal sayıların EBOB ta yazılabilmesi için verilen sayıların hepsini aynı anda bölmesi gerekiyor. Yukarıdaki örneği incelersek verilen sayılar 18 ve 24′ ü en küçük asal sayı olan 2 ye böleriz. İkisini de böldüğü için 2′ yi daire içine alırız. Verilen sayılar 2′ ye bölünmediği zaman ve 1 olmadılarsa 2 den sonra gelen 3 asal sayıya böleriz. 3 sayısı iki sayıyı da böldüğü için daire içine alırız. Verilen sayılar 1 olana kadar işlem devam eder. Daire içine aldığımız sayıları çarptığımızda EBOB 18,24 = 6 buluruz. EN KÜÇÜK ORTAK KAT EKOK İki ya da daha fazla sayma sayının her birine tam bölünen sayılardan en küçük olanına bu sayıların En Küçük Ortak Katı EKOK u denir. Örnek 3 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını bulalım. 3′ nın katları 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 ,48, … 8′ in katları 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, … 3 ve 8′ in ortak katları 24, 48, … Bu ortak katlardan en küçüğü Ekok’ tur. EKOK 3,8 = 24 bulunur. BÖLEN LİSTESİ İLE EKOK BULMA iki veya daha fazla sayı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayı olan 2 den başlarız. Verilen sayılar 2′ ye bölünmüyorsa asal sayıları büyülterek devam ederiz. Verilen sayılar 1 olana kadar bölme işlemine devam ederiz. Burada asal sayılar kaç kere kullanıldıysa Ekok’ ta o kadar kullanılır. Yukarıdaki örnekte 36 ve 48′ i en küçük asal sayı olan 2’ye bölerek başlarız. 36 ve 48′ den biri 2’ye bölünmediğinde bir büyük asal sayı olan 3’e geçeriz sayıları 3′ e bölmeye devam ettikten sonra iki sayıda 1 olduğunda işlem biter. Çizginin sağındaki sayıları çarparak 36 ve 48′ in En Küçük Ortak Katını buluruz. EKOK 36,48 = 144 a ve b iki pozitif tam sayı ise, EBOB a,b.EKOKa,b = 8 ve 12 sayıları ile özelliği 8,12 = 4EKOK 8,12 = 24EBOB8,12 x EKOK8,12 = 4 x 24 = 96İki sayının çarpımı 8 x 12 = 96 eşit tam katı olan sayıların EBOB’ ları küçük sayıya EKOK’ ları büyük sayıya 12 ve 24 sayıları için 12,24 = 12EKOK 12,24 = 24Bulduğumuz EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük ve b aralarında asal iki pozitif tam sayı ise, EBOB a,b = 1 ve EKOK a,b = – EKOK PROBLEMLERİEBOB EKOK problemlerinde verilen sorunun EBOB ile mi EKOK ile mi yapılacağını bulmak için dikkat etmemiz gereken durumlar İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Karşılaştığımız sorularda parçalardan bütüne gitmemiz gerekiyorsa genelde EKOK Soru TürleriBilyeler, cevizler, fındıklar üçer, beşer sayılıyorsa veya sayıldıktan sonra artan oluyorsa,Sınıfta öğrenciler ikişer, üçer sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalan oluyorsaZiller, saatler birlikte bir daha ne zaman çalar diye soruluyorsa,Otobüs, tren, vapur birlikte bir daha ne zaman hareket eder diye soruluyorsaDikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa EKOK kullanılır. Örnek Bir poşetteki fındıklar 2 şerli, 5 şerli, 6 şarlı sayıldığında fındık artmıyor. Buna göre, bu poşette en az kaç fındık vardır?ÇözümEKOK 2,5,6 = = 30 fındık İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Karşılaştığımız sorularda bütünü parçalara ayırmamız isteniyorsa genelde EBOB kullanırız. EBOB Soru TürleriŞişelerde, çuvallarda, bidonlarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,Tarla, bahçe, arsa etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,Kumaşlar, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,İnsanlardan oluşan gruplar için kaç araba, otobüs, oda gerekir diye sorulursa,Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, deponun içine kaç küp sığar diye sorulursa,Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa EBOB Uzunlukları 24 cm, 36 cm ve 42 cm olan üç ayrı çubuk eşit uzunlukta parçalara bölünmek isteniyor. Buna göre, her bir parçanın uzunluğu en çok kaç cm olur? Çözüm EBOB 24,36,42 = 6 cm Ebatları 3 cm, 5 cm, 2 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki eş tahta bloklar yanyana ve üst üste yerleştirilerek içi dolu bir küp yapılacaktır. Bu bloklardan hazırda 815 tane bulunmaktadır. Bu iş için en az kaç tane daha eş tahta blok gerekir? ÇözümYapılacak olan küpün bir ayrıtının uzunluğu 3, 5, 2’nin ortak bir katı durumda 3, 5, 2’nin Ekokunu hesaplarız. Bu sayılar aralarında asal olduğu için Ekok üç sayının çarpımına eşit 3,5,2 = = 30 kullanılacak tahta blok sayısıBlok Sayısı = Küpün hacmi Blokların Hacmi = = = 900 815 tane tahta blok bulunduğuna göre, bu iş için en az 900-815 = 85 tane daha blok Dairesel bir pisti 20, 30 ve 40 dakikada koşabilen üç atlet, aynı anda aynı yerden yarışa başlıyorlar. Yarışa başladıktan sonra ikinci kez başlangıç noktasında yan yana geldiklerinde hızlı koşan atlet kaç tur atmış olur?Çözüm20, 30 ve 40’ın Ekokları atletlerin ilk kez yan yana gelecekleri süreyi verir. Ekok 20,30,40 = = 120 kez yan yana gelmeleri için = 240 dakika geçmeli. Hızlı koşan atlet, pisti 20 dakikada tamamlayan atlettir. Buna göre 240 dakika süresince,240 20 = 12 tur atmış olur. Ebob Ekok Kazanım Testi 1 Ebob Ekok Kazanım Testi 2 Çarpanlar ve Katlar Yeni Nesil Sorular Test 1 Çarpanlar ve Katlar Yeni Nesil Sorular Test 2 Çarpanlar ve Katlar Yeni Nesil Sorular Test 3 EğitimBir Sayının Pozitif Tam Sayı Çarpanları Nasıl Bulunur?Çarpanlarına ayırma ya da bölenlerine ayırma işlemi matematikte sık kullanılan bir işlem türüdür. Özellikle matematikte birçok sorunun çözümünü oldukça kolaylaştıran bir kavram olarak dikkat çekmektedir. Bir sayının çarpanlarına ayırmasını öğrenerek birçok soruyu rahat bir şekilde çözebilirsiniz. Bir sayının pozitif tam sayı çarpanları nasıl bulunur detayları ile - 1525 Son Güncellenme - 1525 Güncelleme - 1525Her doğal sayı en az 2 tane çarpandan oluşmaktadır. Aynı zamanda bu çarpanlar o sayının tam bölenleri olmaktadır. Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Çarpanları Nasıl Bulunur? Her doğal sayı en az iki pozitif çarpandan oluşmaktadır. Bu sayılar kendisi ve 1 sayısından ibarettir. Ancak bazı sayıların daha fazla çarpanı da olabilmektedir. Bir sayının çarpanları o sayının tam olarak bölündüğü sayılar anlamına gelmektedir. Her doğal sayının en küçük pozitif tam sayı çarpanı 1 rakamıdır. En büyük çarpanı ise kendisidir. Bir örnek üzerinde koyu incelemek gerekir ise 18 sayısının çarpanlarını gelin birlikte bulalım. Öncelikle 1 ve 18 doğal çarpanlarıdır. Sonrasında 18 sayısı 2 ile tam bölünmekte ve 9 sayısı çıkmaktadır. Ayrıca 3 ile tam bölünmekte ve sonuç 6 sayısı çıkmaktadır. O halde 18 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 6, 9 ve 18 sayısıdır. Asal Sayı Nedir? Asal Sayı Nedir? Asal Sayılar Nelerdir? Asal Sayı Nasıl Bulunur? Asal Sayı Örnekleri Nelerdir? Matematikte önemli bir terim olan ve aslında ilginç bir yapıya da sahip olan asıl sayılar sadece iki pozitif tam sayıya bölünebilmektedir. Bunlardan birileri bölümünden 1 elde edilen sayının kendisi, bir diğeri ise bölümünden kendisi elde edilen 1 sayısıdır. Asal sayı nedir? sorusu için farklı örnekler aşağıda yer de sizler için bir örnek verelim;Örneğin 23 sayısını ele alalım. Düşündüğümüzde, her sayı gibi 23 sayısı da hem 1’e hem de kendisine yani 23’e bölünebilmektedir. Ancak başka bir bölen arandığında bulunamaz. Yalnız 2 pozitif bölene sahiptir. Bu sebeple 23 sayısı için asaldır diyebiliriz. Aynı zamanda Öklid tarafından kurulan asal sayıların sonsuzluğu teoremi sayesinde asal sayıların sonsuz olduğu da Sayılar Nelerdir?“Asal Sayılar Hangileridir?” sorusuna gelindiğinde ise 1’den 100’e kadar asal sayılar şu şekildedir;2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve bağlamda en küçük asal sayı 2’dir. Aynı zamanda 2 sayısı tek çift asal dayıdır. Bunun sebebi diğer tüm çift sayıların 2’ye bölünebilir olmasıdır. Negatif bir sayının ise asal olma ihtimali yoktur. Çünkü bu durum asal sayıların sadece 1’e ve kendisine bölünebilme tanımına uymaz. Bu sebeple asal sayıların sadece doğal sayıları kapsadığı Sayı Nasıl Bulunur?Belirli bir aralıkta bulunan asal sayılarBelirli bir aralıktaki sayıların hangisinin asal hangisinin asal olmadığını merak ediyorsanız, bunun hızlı bir yöntemi vardır. Bu yöntemi sizlere anlatabilmek için öncelikle küçük bir aralık olan 1-10 arasında anlatalım;1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10Yukarıda 1 ve 10 arasındaki sayıların tümünü görüyorsunuz. Bu sayılardan asal olanlarını belirlemek için öncelikle tek tek ele alıyoruz. 1 sayısının asal olmadığını biliyoruz çünkü yalnızca 1 tane bölene sahip. Bu sebeple 1’in üstüne çarpı atıyor ve 2 ile devam ediyoruz. 2 sayısının ise en küçük asal sayı olduğunu öğrenmiştik. Bu noktada 2’yi yuvarlak içine alıyor ve geri kalan sayılar arasında 2’ye bölünenlere de çarpı atıyoruz. Yani 4, 6, 8 ve 10 sayıları da çarpılanıyor. 2’den sonra 3 geliyor ve 3’ün de asal olduğundan emin olduktan sonra geriye kalan sayılardan 3’e bölünenleri eliyoruz. Böylece 9’da çarpılanmış oluyor. 3’den sonra geriye elimizde 5 ve 7 kalıyor. Aynı işlemleri 5 ve 7 için de sürdürüyoruz. Böylece sırasıyla her çarpılanmayanı ele alıyor ve diğer sayıların bu sayıya bölünebilirliğini kontrol ediyoruz. Geriye kalan çarpılanmayanlar ise o aralıktaki asal sayılar bir sayının asal olup olmadığıAncak aradığımız herhangi bir sayının asal olup olmadığıysa, bunun içinde bir yöntem mevcuttur. Ancak bunu anlatmadan önce her asal olmayan sayının mutlaka asal bölenleri olduğunu anlamanız gerekir. Örneğin 22 sayısını ele alalım. 22’nin bölenleri 22 ve 11’dir ve bu iki sayı da asaldır. 44 sayısını ele aldığımızda ise; 2, 4, 11 ve 22 sayıları 44’ün bölenleridir. 2 ve 11 ise 44’ün asal bölenleridir. Her sayı için bu durum geçerlidir. Bu nokta anlaşıldıysa belirli bir sayının asal olup olmadığı da kolayca için basit bir örnek yapalım ve 33 sayısının asal olup olmadığını inceleyelim;İlk bakmamız gereken karesi 33’ten küçük olan tüm asal sayılardır. Bunlar ise 2, 3 ve 5 sayılarıdır. Ardındansa 33’ün bu sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol ederiz. Bu noktada 33 kolaylıkla 3’e bölünebilir bu yüzden asal bir örnek daha yapalım ve 73 sayısının asal olup olmadığını inceleyelim;Karesi 73’ten küçük asal sayılara baktığımızda, karşımıza 2, 3, 5 ve 7 çıkar. 73 sayısı ise bu asal sayıların hiçbirine bölünemez. O halde rahatlıkla 73’ün asal olduğunu Sayı Örnekleri Nelerdir?Buraya kadar 1’den 100’e kadar olan asal sayıları az çok gördük. Ancak çok daha büyük asal sayı örnekleri ise şunlardır;163, 409, 743, 1021, 1399, 2657, 6469, 11027, 16931, 32429, 58411, 67231, 99817, 100999, 103049, 104729.

bir sayının doğal sayı bölenleri nasıl bulunur